Liste de 10+ comment calculer le périmètre d un triangle rectangle

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à déterminer l’aire d’un triangle à partir des longueurs de deux côtés et le sinus de l’angle compris entre eux.

Nous savons dès le début de notre parcours mathématique comment calculer l’aire d’un triangle en utilisant sa base et sa hauteur. Cependant, cette méthode est limitée, vue qu’on ne peut pas toujours disposer de ces deux mesures. Dans cette fiche explicative, nous allons prolonger nos connaissances en introduisant la formule trigonométrique pour calculer l’aire d’un triangle, que nous dérivons maintenant.

On considère le triangle 𝐴𝐵𝐶 dont on connaît les longueurs des deux côtés 𝑎 et 𝑏 et la mesure de l’angle compris entre eux, l’angle 𝐶. Nous appelons cela l’angle inclus ou l’angle compris. Les informations connues sont représentées en gras sur la figure ci-dessous.

Afin d’appliquer la formule usuelle pour calculer l’aire d’un triangle, on doit connaître les longueurs de sa base et sa hauteur. On trace une droite à partir du sommet 𝐵 qui est perpendiculaire à la base 𝐴𝐶, qu’on note ℎ.

L’aire du triangle 𝐴𝐵𝐶, en utilisant la formule usuelle, est aire=𝑏ℎ2. On a besoin d’exprimer la hauteur ℎ en fonction des longueurs des côtés connues et l’angle connu. On considère le triangle 𝐵𝐶𝐷 sur la figure ci-dessus. Comme c’est un triangle rectangle, nous pouvons appliquer le rapport sinus pour exprimer ℎ en fonction de 𝑎 et 𝐶. Rappelant que le sinus est le rapport entre la longueur du côté opposé et la longueur de l’hypoténuse, on a sinopphypsin𝐶=𝐶=ℎ𝑎.

En multipliant par 𝑎, on trouve ℎ=𝑎𝐶.sin

Nous avons maintenant exprimé la hauteur du triangle en fonction de la langueur du côté 𝑎 et l’angle 𝐶, supposés connus. Maintenant, on remplace ℎ par cette expression dans la formule usuelle de l’aire d’un triangle pour obtenir la formule trigonométrique airesinsin=𝑏ℎ2=𝑏×𝑎𝐶2=12𝑎𝑏𝐶.

Cette formule est valable en degrés et en radians et peut être appliquée à n’importe quel triangle. Il serait possible de calculer explicitement la hauteur de chaque triangle en utilisant la trigonométrie, et après on applique la formule la plus basique, mais ces étapes sont combinées implicitement dans la formule trigonométrique, donc, elle est plus efficace.

Il est important de noter que cette formule peut être appliquée chaque fois que nous connaissons deux côtés d’un triangle et l’angle compris entre eux. Pour le triangle 𝐴𝐵𝐶 ci-dessus, la formule peut être exprimée de manière équivalente comme Airesin=12𝑏𝑐𝐴 ou bien Airesin=12𝑎𝑐𝐵.

Mais il vaut mieux ne pas être trop attentif par les lettres exactes utilisées et plutôt comprendre ce qu’elles représentent en termes de positionnement relatif des côtés et d’angle.

Examinons maintenant comment appliquer cette formule pour calculer l’aire d’un triangle sachant les longueurs des deux côtés et de la mesure de l’angle compris entre eux.

Dans l’exemple précédent, on nous a explicitement donné deux longueurs de côtés et leur angle compris. Dans d’autres problèmes, on peut se retrouver avec des informations un peu différentes. Il peut être alors nécessaire de calculer les longueurs et les angles requis en utilisant d’autres propriétés géométriques, telle que la somme des angles dans un triangle. Nous allons maintenant considérer un exemple.

Dans le problème précédent, l’angle inclus était l’un des angles remarquables pour lesquels les valeurs des trois rapports trigonométriques peuvent être exprimées exactement en termes de quotients et de radicaux. L’utilisation de tels angles nous permet de résoudre des problèmes pareils lorsqu’on n’a pas une calculatrice.

Nous récapitulons maintenant les étapes clés à suivre lors de l’application de la formule trigonométrique de l’aire des triangles.

On peut aussi travailler à l’envers si on a l’aire d’un triangle, la longueur d’un côté et la mesure d’un angle pour déterminer la longueur du deuxième côté qui forme l’angle. Cela nous mène à poser une équation à résoudre, comme nous l’allons montrer dans le prochain exemple.

Les problèmes que nous avons traités jusqu’à présent concerne uniquement un seul triangle. Il est également possible d’appliquer la formule trigonométrique pour calculer les aires des figures composées de triangles. Nous pouvons avoir besoin d’utiliser d’autres techniques, telles que la trigonométrie du triangle rectangle, afin de calculer les longueurs manquantes dont nous avons besoin, comme nous le verrons dans notre prochain exemple.

Dans l’exemple précédent, nous avons appliqué la formule trigonométrique pour calculer l’aire d’un triangle rectangle en utilisant les longueurs de deux côtés et l’angle compris entre eux, qui, dans ce cas, n’était pas l’angle droit. Il est intéressant de noter ce qui se passe si on applique la formule trigonométrique en utilisant l’angle droit et les deux côtés qui le forme. Ces deux côtés sont la base et la hauteur du triangle, comme illustré dans la figure ci-dessous.

En appliquant la formule trigonométrique de l’aire d’un triangle, on obtient airesin=12×𝑏×ℎ×90.∘

Rappelant que sin90=1∘, ainsi aire=12𝑏ℎ, ce qui est cohérent avec la formule usuelle pour l’aire d’un triangle en utilisant sa base et sa hauteur. Par conséquent, nous avons montré que la formule trigonométrique se réduit à la formule de l’aire usuelle si elle est appliquée à un triangle rectangle.

Nous avons vu comment appliquer la formule trigonométrique pour calculer l’aire des triangles aux figures composées, mais elle peut être également utilisée pour calculer les aires d’autres figures géométriques, notamment les parallélogrammes. Si de telles figures peuvent être divisées en triangles, alors, à condition d’avoir les informations nécessaires, nous pouvons utiliser cette formule pour déterminer leurs aires comme la somme des aires des triangles qu’elles forment. Considérons maintenant un exemple dans lequel nous appliquons cette formule pour calculer l’aire d’un parallélogramme.

Terminons par récapituler certains points clés de cette fiche explicative.

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