Top 10+ comment calculer l’argument d’un nombre complexe

Forme trigonométrique d’un nombre complexe

Soit le nombre complexe (z=a+bi) représenté dans le plan cartésien par le point (P=(a,b)).

Remarque : Il existe une infinité d’arguments d’un nombre complexe non nul qui diffèrent d’un multiple entier de (2pi). On dit alors que l’argument d’un complexe est défini modulo (2pi). On le note (phi+2kpi,, kinmathbb{Z}.) L’argument principal est l’unique mesure de (phi) qui est comprise entre (-pi) et (pi).

(a) Calcul du module et de l’argument d’un nombre complexe

Dans le triangle rectangle (OP’P) on a d’une part (|z|^2=a^2+b^2) et donc

(|z|=sqrt[]{a^2+b^2})

et d’autre part,

(cosphi=dfrac{a}{|z|}qquad textrm{et}qquad sinphi=dfrac{b}{|z|}.)

Le nombre complexe (z=a+bi) peut donc s’écrire

(z=|z|cosphi+|z|sinphi;i=|z|(cosphi+isinphi).)

Par exemple cherchons la forme trigonométrique du nombre complexe (z=sqrt[]{3}-i). On calcule

(|z|=sqrt{3+1}=2)

et

(cosphi=dfrac{sqrt[]{3}}{2},qquadsinphi=dfrac{-1}{2}qquadRightarrow phi=dfrac{11pi}{6}.)

Le nombre complexe (z=sqrt[]{3}-i) peut donc aussi s’écrire (z=2left(cos(frac{11pi}{6})+isin(frac{11pi}{6})right).)

Le nombre complexe (z=i) peut encore s’écrire (z=cos(frac{pi}{2})+isin(frac{pi}{2}).) En effet, on calcule

(|z|=sqrt{0+1}=1)

et

(cosphi=dfrac{0}{1}=0,qquadsinphi=dfrac{1}{1}=1qquadRightarrow phi=dfrac{pi}{2}.)

Remarque : Deux nombres complexes conjugués ont le même module et des arguments opposés :

(z=a+bi=|z|(cosphi+isinphi)qquadtextrm{ et}qquad bar{z}=a-bi=|z|(cos(-phi)+isin(-phi)).)

(b) Produit de deux nombres complexes

Soient les nombres complexes (z_1=|z_1|(cos phi_1+isin phi_1)) et (z_2=|z_2|(cos phi_2+isin phi_2)). Le produit de deux nombres complexes non nuls a pour module le produit des modules de ces deux nombres complexes et pour argument la somme des arguments de ces nombres complexes :

(z_1cdot z_2=|z_1|, |z_2|;(cos (phi_1+phi_2)+isin (phi_1+phi_2)).)

Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette affirmation

Par exemple, pour (z_1=3;(cos(frac{pi}{9})+isin(frac{pi}{9}))) et (z_2=sqrt[]{3};(cos(frac{7pi}{18})+isin(frac{7pi}{18}))) on a

(z_1cdot z_2=3,sqrt[]{3};(cos (frac{pi}{9}+frac{7pi}{18})+isin (frac{pi}{9}+frac{7pi}{18})) =3,sqrt[]{3};(cos(frac{pi}{2})+isin(frac{pi}{2})) =3,sqrt[]{3}i.)

(c) Quotient de deux nombres complexes

Soient les nombres complexes (z_1=|z_1|(cos phi_1+isin phi_1)) et (z_2=|z_2|(cos phi_2+isin phi_2)). Le quotient de deux nombres complexes non nuls a pour module le quotient des modules de ces deux nombres et pour argument la différence des arguments de ces deux nombres :

(dfrac{z_1}{z_2}= dfrac{|z_1|}{|z_2|}(cos(phi_1-phi_2)+isin(phi_1-phi_2)).)

Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette affirmation

Par exemple, pour (z_1=cos(frac{3pi}{2})+isin(frac{3pi}{2})) et (z_2=2;(cos(frac{pi}{3})+isin(frac{pi}{3}))) on a

(dfrac{z_1}{z_2}=dfrac{1}{2};left(cos(frac{3pi}{2}-frac{pi}{3}))+isin(frac{3pi}{2}-frac{pi}{3})right) =dfrac{1}{2}left(cos(frac{7pi}{6})+isin(frac{7pi}{6})right) =dfrac{-,sqrt[]{3}}{4}-dfrac{1}{4}i.)

Inverse d’un nombre complexe

En particulier, si (z_1=1), nous avons

(dfrac{1}{z_2}=dfrac{1}{|z_2|};(cos(-phi_2)+i(-phi_2)).)

L’inverse d’un nombre complexe non nul a pour module l’inverse du module de ce nombre et pour argument, l’opposé de l’argument de ce nombre.

(d) Puissance d’un nombre complexe

Soit (z=|z|;(cos,phi+isin,phi)) un nombre complexe et (n) un nombre naturel. En appliquant la règle du produit, nous obtenons

(z^n=|z|^n;(cos(nphi)+isin(nphi)).)

Par exemple, calculons ((-1+i)^4). On a

(-1+i=sqrt[]{2};(cos(frac{3pi}{4})+isin(frac{3pi}{4})))

et donc

((-1+i)^4 =4;(cos(frac{12pi}{4})+isin(frac{12pi}{4})) =4;(cospi+isinpi) =-4.)

Il s’agit du cas particulier où (|z|=1). En effet, dans ce cas, on a

(z^n=(cos(phi)+isin(phi))^n=cos(nphi)+isin(nphi).)

Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette affirmation

Remarque : La formule de Moivre reste valable pour des puissances dont l’exposant est un nombres entier strictement négatif. En effet, on a

((cos,phi+isin,phi)^{-n}=dfrac{1}{(cos,phi+isin,phi)^n} =dfrac{1}{;(cos(nphi)+isin(nphi))} =;(cos,(-nphi)+isin,(-nphi)).)

(e) Racines nièmesd’un nombre complexe

Calculer les racines nièmes d’un nombre complexe (r_1;(cos,phi_1+isin,phi_1)) revient à chercher (z) tel que (z^n=r_1;(cos,phi_1+isin,phi_1).) On obtient (n) racines nièmes distinctes :

(z_k=sqrt[n]{r_1}left(cos(frac{phi_1+2kpi}{n})+isin(frac{phi_1+2kpi}{n})right),qquad kin {0,1,2,cdots n-1}.)

Par exemple, calculons les racines sixièmes de (-64). On peut écrire (-64=64;(cos,pi+isin,pi)) et il reste à résoudre l’équation (z^6=64;(cos,pi+isin,pi).) Pour cela, posons (z=r;(cos,phi+isin,phi)), on a donc

(r^6;(cos(6phi)+isin(6phi))=64;(cos,pi+isin,pi))

ce qui implique (left{begin{array}{rcl} r^6&=&64\ 6phi&=&pi+2kpiquad(kinmathbb{Z}) end{array} right.) et donc (left{begin{array}{rcl} r&=&2\ phi&=&dfrac{pi+2kpi}{6}quad(kinmathbb{Z}) end{array} right.)

En donnant des valeurs ({0,1,2,3,4,5}) à (k), on trouve les six racines sixièmes de (-64) :

(begin{array}{ll} z_0=2;(cos(frac{pi}{6})+isin(frac{pi}{6}))=sqrt[]{3}+i&z_3=2;(cos(frac{7pi}{6})+isin(frac{7pi}{6}))=-sqrt[]{3}-i\[2mm] z_1=2;(cos(frac{pi}{2})+isin(frac{pi}{2}))=2i&z_4=2;(cos(frac{3pi}{2})+isin(frac{3pi}{2}))=-2i\[2mm] z_2=2;(cos(frac{5pi}{6})+isin(frac{5pi}{6}))=-sqrt[]{3}+ihspace{1cm}&z_5=2;(cos(frac{11pi}{6})+isin(frac{11pi}{6}))=sqrt[]{3}-i end{array})

Si on représente ces racines dans le plan de Gauss, on remarque qu’elles forment les sommets d’un hexagone régulier inscrit dans un cercle de centre ((0,0)) et de rayon (2=sqrt[6]{64}).

Plus généralement, les racines nièmes du nombre complexe (r_1;(cos,phi_1+isin,phi_1)) dans le plan de Gauss sont les sommets d’un polygone régulier à (n) côtés inscrit dans le cercle de centre ((0,0)) et de rayon (sqrt[n]{r_1}).

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